LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

Existen sucesiones con límites, estas son en las que sus términos se van aproximando cada vez más a un número al cual jamás llegan a alcanzar, dicho número es al que se llama límite.
En la sucesión an = 1/n  observamos que los términos se van acercando a cero.
1, 1/2 , 1/3 , 1/4 ,1/5 , 1/6 , 1/7 , … , 1/1000 , … , 1/1000000 , … , 1/10000000 ...
Consideramos que 0 es el límite de la sucesión porque los términos se aproximan a cero tanto como se quiera a medida que se avanza en la sucesión y la distancia a cero puede ser tan pequeña como queramos pero no hay ningún valor de la sucesión que coincida con el límite.
(1, 0) = 1
(1/10, 0) = 0.1
(1/100, 0) = 0.01  
(1/1000, 0) = 0.001  
...
(1/1 000 000, 0) = 0.000 001  
...
(1/1 000 000 000, 0) = 0.000 000 001  

• LÍMITE FINITO DE UNA SUCESIÓN

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε

.

La sucesión an= 1/n tiene por límite 0.

Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.

Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.

A partir del a1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

• LÍMITE INFINITO DE UNA SUCESIÓN

Una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.

El límite de la sucesión an= n2 es +∞.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ..

.

Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101  superará a 10 000.

a101 = 1012  = 10 201

Una sucesión an tiene por límite −∞ cuando para toda N >0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an < −N.

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= −n2  es −∞.

−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...

Si N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a −10 000.

a101= −1012  = −10 201

  

• OBTENCIÓN DEL LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

Para hallar el límite de una sucesión estudiamos su comportamiento para términos muy avanzados, es decir, cuando n toma valores cada vez mayores

lim bn = lim (n2 /5  -  4n) 0 +∞

• CÁLCULO DE LA SUMA DE N TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Y LOS LÍMITES

Se utiliza una fórmula que nos permite calcular la suma de n términos de una progresión geométrica:
La suma de los términos de una progresión geométrica es igual al último término por la razón menos el primero dividido por la razón menos 1.


Calculamos el límite de esta expresión para los siguientes valores de r.

r > 1   rn se hace tan grande como queramos.
Por tanto : Sn → +∞  si  a1 > 0
Sn  → - ∞ si a1 < 0

r < -1 I rn I se hace tan grande como queramos rn es positivo si es par y negativo si n es impar.
Por tanto: Sn no tiene límite.

-1 < r < 1 lím Sn = a1/ ( 1 - r )  porque rn → 0 (Al multiplicar reiteradamente por un número I r I < 1 , el resultado es cada vez más próximo a 0)

r =1  La progresión es  a1 , a1 , a1 , a1 , a1 , a1 , … Su suma es Sn = n a1
Es claro que si a1 > 0, Sn → +∞  y si a1  < 0, Sn → -∞

r = -1 La progresión es    a1 ,- a1 , a1 ,-a1 , a1 ,-a1 , …
Los valores de Sn son a1, 0, a1, 0, a1, 0 ...
Por tanto, Sn no tiene límite.

• (1+1/n)n

Lim [ 1 + 1/n ] ⁿ = L

n→ + ∞

Al reemplazar sería la forma 1^∞ , forma indeterminada que se resuelve aplicando logaritmos

Lim Ln { [ 1 + 1/n ] ⁿ } = Ln L

n→ + ∞

Lim { n * Ln [ 1 + 1/n ] } = Ln L

n→ + ∞

que seria de la forma ∞ * 0 que se resuelve pasando al denominador la parte mas sencilla de derivar

Lim { Ln [ 1 + 1/n ] / (1/n) } = Ln L

n→ + ∞

que seria de la forma 0/0

Aplicando el teorema de L'hospital, derivando al numerador y al denominador independientemente, resulta

Lim { (0 - 1/n²) / [ 1 + 1/n ] } / (-1/n²) 

n→ + ∞

simplificando

Lim { 1 / [ 1 + 1/n ] } = 1 / (1+0) = 1 

n→ + ∞

Luego Ln L = 1 por lo que L = e¹

por lo tanto

Lim [ 1 + 1/n ] ⁿ = e

n→ + ∞

• LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

La sucesión de Fibonacci es aquella que empieza en 0 y a partir de ahí cada término siguientes es la suma de los dos anteriores. A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" :

donde:

• xn es el término en posición "n"
• xn-1 es el término anterior (n-1)
• xn-2 es el anterior a ese (n-2)

Por ejemplo el sexto término se calcularía así:

x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

⇒ RAZÓN DE ORO

Y hay una sorpresa. Si tomamos dos números de Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón aúrea "φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...

De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación. 
Probemos con algunos: 

⇒ USAR LA RAZÓN DE ORO PARA CALCULAR NÚMEROS DE FIBONACCI
Y es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci usando la razón de oro:   

 

Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma de los dos términos anteriores.
Ejemplo:  

                     

*FIBONACCI EN LA NATURALEZA

Estos son algunos de los ejemplos donde aparece la sucesión de Fibonacci.

El número de conejos coincide con cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.

Las galaxias también creen en Fibonacci.

Las piñas poseen un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los números de Fibonacci.

El largo de tus falanges también respeta la sucesión de Fibonacci.