- DIFERENCIA (d) DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Por ejemplo :
2. 4. 6. 8. 10. 12.………..
(Cuando veas puntos suspensivos quiere decir que en ellos, se incluyen o pueden incluirse más términos.)
El valor de d
lo obtenemos restando el valor del tercer término menos el valor del
segundo término: 6 - 4 = 2 o bien, el del quinto menos el valor del
cuarto : 10 - 8 = 2, etc...
Para pasar de un término al siguiente basta sumarle al anterior una cantidad constante, la diferencia, d.
A cada número de la sucesión le llamamos término y lo representamos por:
a1, a2, a3, a4 … an
Por ejemplo:
Tenemos esta progresión aritmética: 4, 8, 12, 16...
En la que : a1=4 ; a2=8 ; a3=12 ; a4=16 ...… an = Término general de la progresión aritmética (Que explicaremos más adelante)
Aquí un ejercicio resuelto con todo lo dado anteriormente :
- OBTENCIÓN DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Esta fórmula la vamos a explicar mediante unos ejemplos para que se vea más claro:
- CÁLCULO DE LA SUMA DE N TÉRMINOS :
La
suma de dos términos equidistantes de los extremos es siempre la misma,
es decir, la suma de los términos que se encuentran en la misma
distancia en una progresión aritmética. Para calcularlo existen dos
formas, la primera que vamos a explicar es la más sencilla pero bastante
larga y la segunda es mediante una ecuación, un método bastante rápido.
- Primera forma : Método sencillo (Explicamos con un ejemplo)
En la progresión aritmética 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35... consideramos sus 8 primeros términos.
Observamos que la suma de los términos equidistantes de los extremos es siempre igual a la suma de los extremos:
a1 + a8 = a2 + a7 = a3 + a6 = a4 + a5... 5+26 = 8+23 = 11+20 = 14+17 = 31
Consideramos la suma de los 8 primeros términos, que llamaremos S8:
S8 = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + a8 S8 = 5+8+11+14+17+20+23+26
Escribimos esa suma cambiando el orden:
S8 = a8 + a7 + ... + a3 + a2 + a1 S8 = 26+23+20+17+14+11+8+5
Sumamos ambas expresiones, término a término, y obtenemos:
2S8 = (a1 + a8) + (a2 + a7) + ... + (a8 + a1) 2S8 = (5+26) + (8+23)+ ... + (26+5)
Los resultados de todos los paréntesis son iguales a (a1 + a8) y tenemos 8 sumandos; es decir:
2S8 = (a1 + a8) · 8
S8 = (a1 + a8)/ 2 · 8
Generalizado para la suma de n términos:
2. Segunda forma : Ecuación .
Esta fórmula es un “resumen” del método anterior.
Solución : Sn =[(5+26) /2 ]·8 = 124
✻ Curiosidades:
SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA:
Si delante de una sucesión de números ves el símbolo
se refiere a una progresión aritmética.
se refiere a una progresión aritmética.
Ejemplo:
3.8.13.18.......
3.8.13.18.......
Si pones este símbolo te ahorras escribir las palabras: progresión aritmética.
ORIGEN DEL CÁLCULO DE LA SUMA DE N TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
En
1.787, un maestro de aritmética en una la escuela de primaria, propuso
como actividad sumar todos los números naturales del 1 al 100. Un niño
de casi 10 años,se paró a pensar, y en lugar de sumar todos, uno por
uno, resolvió el problema en pocos segundos de la manera siguiente:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050.
Es
decir, descubrió el principio de la fórmula de la suma de los términos
de una progresión aritmética. Se trataba de Carl Friedrich GAUSS y a
consecuencia de estos éxitos sus maestros se interesaron por él. Gauss
estudió matemáticas y llegó a ser catedrático de matemáticas de Kazán,
catedrático de astronomía y director del Observatorio Astronómico de
Gotinga. Es uno de los más grandes matemáticos que han existido y
conocido como el príncipe de las matemáticas.
PROGRESIÓN ARMÓNICA
Una progresión armónica es una sucesión de números tales que sus recíprocos forman una progresión aritmética.
Se
llaman progresiones armónicas porque cada término es la media armónica
entre el anterior y el siguiente. El término general de estas
progresiones siguen esta forma:
Ejemplo :
1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10... Es una progresión armónica, ya que 2,4,6,8,10... Es una progresión aritmética.
